Una misteriosa ecuación en el cementerio (Boltzmann: entropía y probabilidad)

El cementerio central de Viena, Zentralfriedhof, es visita obligada para los amantes de la música que se acercan a la capital austriaca. Situado en  el barrio de Simmering, el vasto cementerio (el mayor y más famoso de Viena, que cuenta con cerca de medio centenar, y uno de los más grandes de Europa) ocupa más de dos kilómetros cuadrados y en él están enterradas personas de diferentes religiones (además del cementerio católico hay uno protestante, dos judíos y una pequeña zona reservada para los cristianos ortodoxos). Este magnífico cementerio fue abierto en 1874. En el centro del mismo se encuentra la Iglesia del Dr. Karl Lueger (iglesia mausoleo dedicada a la memoria del  que fuera apreciado alcalde de Viena a comienzos del pasado siglo), imponente edificio, como no podía ser de otra manera en la monumental Viena. Hablar del Zentralfriedhof es hacerlo de música pues ningún cementerio del mundo concentra tal cantidad de tumbas de insignes músicos: Beethoven, Brahms, Gluck, Salieri, Schubert, los Strauss (los dos Johann, Josef y Eduard) y otros compositores menos conocidos: Czerny, Goldmark, von Herbeck, Lanner, Schoenberg, Stolz, von Suppé y Wolf. El monumento en memoria de Mozart (obra de Hanns  Gasser en 1859), situado originalmente en el cementerio de St. Marx, fue trasladado al Zentralfriedhof en 1891 (centenario de la muerte del genial compositor de Salzburgo). El monumento fúnebre se encuentra en una arboleda del cementerio cerca de los sepulcros de otros grandes compositores.

Paseando por el Zentralfriedhof vienés tal vez nos encontremos el sepulcro de un personaje, que debe ser célebre, con un barbudo busto. ¿Otro famoso músico? Nos acercamos con curiosidad y en la blanca piedra, en la parte superior del monumento, leemos lo que parece ser una ecuación matemática cuyo significado acaso ignoremos: S = k log W. ¿Qué significa? No cabe duda de que no se trata de un compositor. Puede que sea un matemático. Quizás un insigne físico. Bajo el barbudo busto de serio gesto y penetrante mirada leemos: Ludwig Boltzmann (1844 – 1906). Se trata por tanto del gran físico teórico del siglo XIX, el fundador de la Mecánica Estadística (estudio estadístico de las propiedades de un gran número de partículas, átomos o moléculas, que constituyen un sistema material para predecir su comportamiento macroscópico). No es pues la tumba de un científico local mediocre sino la de uno de los más importantes científicos decimonónicos, pionero y precursor, casi más un hombre del siglo XX (acaso el primer revolucionario de la nueva física que iba a surgir).

[Imagen procedente de www.eoht.info. (Aquí)]

Ludwig Eduard Boltzmann, nacido en Viena, fue profesor en las universidades de Viena, Graz, Munich y Leipzig. Aplicó con acierto la novedosa Mecánica Estadística a la teoría cinética de los gases, completando así los trabajos de Maxwell. Pero fue más allá aplicándola a la Termodinámica, de manera que para Boltzmann el famoso Segundo Principio (la entropía, que es una medida del desorden, de un sistema aislado aumenta sin fin en búsqueda de un máximo, de un equilibrio final o situación última de máxima homogeneidad y desorden en la que cese toda actividad) tiene una interpretación probabilística. O dicho con otras palabras, la segunda ley de la Termodinámica es una ley estadística, pues para Boltzmann el desorden es más probable que el orden; así el estado de mayor entropía (y desorden) será el de mayor probabilidad. De ahí el continuo aumento de entropía anunciado por el Segundo Principio. Stephen Hawking, en su célebre Historia del tiempo⁽¹⁾, nos pone un ejemplo aclarador: “La segunda ley de la termodinámica resulta del hecho de que hay siempre muchos más estados desordenados que ordenados. Por ejemplo, consideremos las piezas de un rompecabezas en una caja. Hay un orden, y sólo uno, en el cual las piezas forman una imagen completa. Por otra parte, hay un número muy grande de disposiciones en las que las piezas están desordenadas y no forman una imagen. […] Imaginemos que las piezas del rompecabezas están inicialmente en una caja en la disposición ordenada en la que forman una imagen. Si se agita la caja, las piezas adquirirán otro orden que será, probablemente, una disposición desordenada en la que las piezas no forman una imagen propiamente dicha, simplemente porque hay muchísimas más disposiciones desordenadas. Algunos grupos de piezas pueden todavía  formar partes correctas de la imagen, pero cuanto más se agite la caja tanto más probable será que esos grupos se deshagan y que las piezas se hallen en un estado completamente revuelto, en el cual no formen ningún tipo de imagen”. El resultado será el previsto por el segundo principio de la Termodinámica: de una situación ordenada el sistema evoluciona hacia el desorden, más probable.

En la ecuación S=klogW, S simboliza la entropía del sistema, k es la constante de Boltzmann, que se obtiene dividiendo la constante R de los gases ideales por el número de Avogadro, y W expresa el número de estados microscópicos correspondientes a cierto estado macroscópico del sistema. El macroestado más probable será aquel que tenga un mayor número de microestados (como ocurre con el rompecabezas, donde hay un número muy elevado de disposiciones que no forman una imagen completa, frente a la única disposición que lo resuelve). Así W es una medida de la probabilidad de un determinado macroestado de un sistema material. 

Pero el físico austriaco debe ser recordado también como defensor del atomismo físico, encontrando por ello la dura oposición de los energetistas, que filosóficamente eran positivistas militantes, para quienes los átomos eran meros entes metafísicos. Aunque hoy nos pueda resultar extraña la intransigente posición de los llamados energetistas en las décadas finales del siglo XIX, la concepción de la física por ellos defendida se mostraba extraordinariamente vigorosa entonces. Los energetistas, con Ostwald a la cabeza, defendían la idea de que la energía y la termodinámica debían constituir la base segura para el razonamiento científico y no la imaginación de átomos materiales. El inolvidable Louis De Broglie, premio Nobel de Física en 1929, describe con claridad la situación en el prólogo de La Théorie physique au sens de Boltzmann et ses prolongements modernes (1959), del gran historiador de las Ciencias René Dugas⁽²⁾:

 “La obra está dedicada a la Teoría física en el sentido de Boltzmann y sus prolongaciones modernas. Dugas había quedado sorprendido de la originalidad de la obra de Boltzmann y por la energía que había demostrado sosteniendo durante toda su juventud y su madurez el punto de vista de los atomistas y la utilidad para la Física teórica de emplear imágenes y de representarse estructuras; él se encontraba así en violenta contradicción con los representantes de la escuela energetista que, en esta época se imponía como una obligación en casi todos los países y en particular en Alemania y que, adoptando un punto de vista positivista y una presentación abstracta y formal de las teorías físicas, pretendía prohibir a los investigadores toda representación de los elementos no directamente observables de la materia y lanzaba anatemas y a veces sarcasmos contra los esfuerzos de Boltzmann y sus raros imitadores.[…] Todos los físicos partían evidentemente de hechos experimentales, pero, sobre esta base indispensable, elevaban, según la orientación de sus pensamientos, edificios muy diferentemente construidos. Los unos para traducir los hechos concretos construían en su espíritu imágenes, abstractas y esquemáticas, evidentemente, como todo lo que es científico; pero, sin embargo, intuitivas y creadas por la imaginación, y con su ayuda desarrollaban teorías deductivas que les permitían interpretar y prever los fenómenos mecánicos, y ellos veían en el empleo alternado de la inducción imaginativa y de la deducción lógica la mejor de las palancas que podíamos emplear para intentar levantar el pesado velo que nos oculta la naturaleza real de las cosas. Otros, más amantes de formalismos rigurosos, intentaban extraer de los hechos experimentales una serie de conceptos y postulados que no recurren en modo alguno a la imaginación, y fijados de una vez para todas, y deduciendo de ellos de una manera rigurosa todas las consecuencias posibles.[…] Sin duda alguna, Boltzmann pertenecía a la primera escuela  y estaba casi solo en la Europa de su tiempo, en particular en los países de lengua alemana, para sostener las concepciones del atomismo y desarrollar, especialmente en su célebre teoría cinética de los gases, la imagen molecular de la estructura de la materia; no debía vivir lo bastante para ver triunfar el punto de vista que sostenía.” 

Por si todo ello fuera poco, el papel desempeñado por Ludwig Boltzmann en el nacimiento de la física moderna a comienzos del siglo XX es destacable, diríamos que esencial, hasta el punto de que podamos considerarlo, sin miedo a exagerar, como precursor de la nueva física. Quizás sea Boltzmann “el primer físico del siglo XX”, aunque cronológicamente lo situemos en el XIX, cuando desarrolló sus investigaciones y teorías. El físico austriaco le comunicó a Planck que para hacer una teoría correcta sobre la termodinámica estadística de la radiación sería necesario introducir un elemento de discontinuidad aún desconocido. Valiosísima observación. Según Dugas , el descubrimiento realizado por Planck, en el estudio de la radiación del cuerpo negro, y por Einstein en el estudio teórico del movimiento browniano y en la teoría de los cuantos de luz, fueron posibles gracias al método y a las ideas de Boltzmann.

Hace algo más de cien años moría trágicamente Boltzmann (silencioso centenario en 2006) en la pequeña localidad de Duino, en la costa adriática, próxima a Trieste. La otrora ciudad del Imperio Austrohúngaro es conocida por su antiguo castillo y por aquellas bellas y místicas elegías que escribiera el gran poeta Rainer María Rilke (la décima comienza con estos versos: “Que un día, a la salida de esta visión feroz, eleve yo/ mi canto de júbilo y gloria hasta  los ángeles, que asentirán”). Ludwig Boltzmann, eminente físico que supo ver lo que era invisible para los demás, no pudo sin embargo escapar de su feroz visión y contemplar como, finalmente, todos asentirían. Boltzmann se suicidó en Duino, a finales del verano de 1906, ahorcándose mientras su mujer e hija se bañaban. Si bien las causas que le llevaron a tan drástica decisión no están claras (posiblemente nunca las sepamos), parece probable que los duros ataques que recibieron sus teorías e ideas por parte de algunos de sus colegas positivistas (Ostwald y Mach, principalmente) pudieron desencadenar tan fatal desenlace. O tal vez Boltzmann, ya cansado y agotado física y psíquicamente (no olvidemos su carácter cambiante y personalidad depresiva), decidiera no continuar el camino. Sea como fuere, el hecho es que el físico austriaco se quitó la vida poco antes de que, acaso, pudiera haber salido del túnel. La supuesta existencia real de los átomos, defendida por Boltzmann, necesitaba contundentes pruebas experimentales a su favor. Y estas pruebas no tardaron en llegar: diferentes experiencias, particularmente las realizadas por Jean Perrin, permitieron obtener, por métodos muy diversos, el valor del número de Avogadro y el diámetro de los átomos en absoluta concordancia con las predicciones de la teoría cinética.

Las guías turísticas nos hablan de las tumbas de los ilustres músicos enterrados en el cementerio central de Viena, pero no encontramos en ellas ninguna referencia a Boltzmann. Para nosotros, la contribución teórica del físico austriaco es realmente música celestial.

 Notas:

(1)    Stephen W. Hawking: Historia del tiempo. Del Big Bang a los agujeros negros. Crítica. Barcelona, 2005. Pags. 192-93. El libro de divulgación de Hawking, ya un clásico, sigue siendo de lectura imprescindible.

(2)   Este texto lo encontramos en el delicioso e interesantísimo libro de Louis De Broglie, Por los senderos de la ciencia, Espasa Calpe, Madrid, 1963, en el capítulo titulado “La obra de Boltzmann y la Física moderna” (pags. 253-55). Recomendamos asimismo la lectura de los capítulos: “El gran descubrimiento de Max Planck: la misteriosa constante h”y “Por los senderos de la Física”, entre otros.

Bernardo Rivero Taravillo

Este artículo fue publicado en la Revista Digital de Ciencias del IES Bezmiliana en marzo de 2007.